An Approach to the Use of probability Theory
in Calculating the Design Flow in Direct Drinking Water Pipeline
CHEN He-miao

Abstract:The two formulas given in the 《Design Code for Water Supply and Drainage in Building》(GBJ 15-88) are not applicable for drinking water system in the calcuation of the design flow in portable water pipelines.The author proposes to use probability theory in the calculation of the design flow in portable water pipelines in residential building，etc.The results of the calculation shows that under a certain guaranteed ratio the percentage of the water faucets used simultaneously decreases as the number of the faucets increases.
　　Keywords:drinking water；design flow；probability theory

1 引言

　　《建筑給水排水設(shè)計(jì)規(guī)范》（GBJ 15－88）中給出的生活給水設(shè)計(jì)秒流量計(jì)算式：

　　
　　（1）、（2）式不適用于直飲水管道秒流量計(jì)算。（1）式屬于平方根法，和原蘇聯(lián)公式的形式接近，此式基于秒不均勻系數(shù)和平均日用水量的關(guān)系公式：
　　
　?。?）式源于某蘇聯(lián)工程師對(duì)住宅生活用水量的觀測(cè)研究。在直飲水系統(tǒng)中，秒不均勻系數(shù)與日用水量間，未必符合（3）式。（2）式屬于經(jīng)驗(yàn)公式，它適用于公共浴室、公共食堂、影劇院等用水設(shè)備使用情況集中的場(chǎng)所，衛(wèi)生器具同時(shí)給水百分?jǐn)?shù)不隨器具數(shù)量而變化。該式可用來計(jì)算公共浴室等場(chǎng)所的直飲水管道，但在住宅、旅館等場(chǎng)所不適合。
　　亨脫（Hunter）應(yīng)用概率論來確定室內(nèi)生活給水管道的設(shè)計(jì)秒流量，并在美、英、日諸國(guó)得到采用。在住宅、旅館等直飲水系統(tǒng)中，只有一種用水器具（即放水龍頭），器具的放水使用數(shù)目為隨機(jī)變數(shù)，服從離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)式概率分布，因此住宅等的直飲水系統(tǒng)秒流量亦可按亨脫的概率法計(jì)算。

2 計(jì)算方法

　　以住宅為例，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如下：住宅戶均3.5人；每人每日飲用水量3L；飲水龍頭額定流量q₀=0.05L/s；水龍頭當(dāng)量N₀=0.25。
　　每戶用水量3.5×3=10.5L，則每戶水龍頭的放水時(shí)間t=10.5/0.05=210s。假定一日內(nèi)飲水量集中消耗在某一小時(shí)內(nèi)，水龍頭的使用概率p和不使用概率1-p：
　　　　p=t/T=210/3600=0.058 ……（4）
　　　　1-p=1-0.058=0.942 ……（5）
　　定義直飲水系統(tǒng)秒流量為最大1min的平均秒流量，即秒流量持續(xù)時(shí)間T=1min，則秒流量的保證率為A：
　　　　A=1-T/60=1-1/60=0.9833 ……（7）
　　在n個(gè)水龍頭中，若0～m個(gè)水龍頭使用概率的總和不小于A，則m為設(shè)計(jì)秒流量發(fā)生時(shí)的同時(shí)使用水龍頭個(gè)數(shù)，可得設(shè)計(jì)秒流量Q：
　　　　Q=q₀……（8）
　　n個(gè)水龍頭中，任意r個(gè)同時(shí)使用的概率為P：
　　　　Pⁿ_r=(ⁿ_r)(1-p)^n-rp^r
　　上式中(ⁿ_r)為從n個(gè)不同元素中，每次取出r個(gè)不同的元素，不管其順序合并成一組的組合種數(shù)。

　　如n=5，r=2，5個(gè)水龍頭中2個(gè)同時(shí)使用的概率為：
　　　　P⁵₂=(⁵₂)(1-p)^5-2p²
　　n個(gè)水龍頭中，任意0－m個(gè)水龍頭使用的概率總和不小于A，其表達(dá)式為P：
　　P=Pⁿ₀+Pⁿ₁+Pⁿ₂+…Pⁿ_m-1+Pⁿ_m≥A……（10）
　　若通過計(jì)算求得符合上式的m值，則依據(jù)（8）式可求得管道流量。
　　當(dāng)水龍頭總數(shù)n不大時(shí)，可用手算求得在一定保證率下的m值。若n較大，手算已不可能，此時(shí)可用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)上述計(jì)算。圖1為計(jì)算框圖。

當(dāng)n值較大時(shí)（如n＞1000），由于計(jì)算機(jī)精度回制及誤差的影響，計(jì)算結(jié)果誤差很大，此時(shí)需要二項(xiàng)分布的正態(tài)逼近計(jì)算。根據(jù)理論分析標(biāo)明，當(dāng)n充分大（np≥5，n(1-p)≥5）時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布：

　　
　?。?7）式由(n)^0.5年與n組成，n前的系數(shù)相當(dāng)于單個(gè)龍頭使用概率。此式盡管為在n充分大時(shí)，根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)得出的結(jié)果，但經(jīng)驗(yàn)算，在n＞80時(shí)，按此式得到的使用龍頭數(shù)與用二項(xiàng)式法求得的使用龍頭數(shù)吻合得很好。

3 計(jì)算結(jié)果

在某n值下，有一定保證率的m，見表1，并把工程中建議采用的使用個(gè)數(shù)或同時(shí)使用百分?jǐn)?shù)一并列于此表。從表中數(shù)據(jù)可見，水龍頭的同時(shí)使用百分?jǐn)?shù)隨龍頭個(gè)數(shù)增大而減小。

4 與其他計(jì)算方法比較

若直飲水管道流量按照平方根法（即(1)式）計(jì)算，換算成使用龍頭數(shù)即為：
　　m=[0.2(Ng)^1/a+kNg]/0.05
　　 =[0.2(0.25n)^1/a+0.25kn]/0.05
　　 =2.11(n)^0.5+0.0242n　　　　　　　　　…… （18）
　　上式中k，a為《GBJ15－88》第2.6.4條表中數(shù)值的平均數(shù)。經(jīng)過對(duì)（17）式與（18）式的比較可見，兩式結(jié)構(gòu)相同。當(dāng)n較小時(shí)，前半部分起主導(dǎo)作用，當(dāng)n較大時(shí)，后半部分作用顯著。（若用住宅洗滌盆的數(shù)據(jù)N，q₀代入（1）式得m=1.06(n)^0.5+0.00242n，n前的系數(shù)為0.00242偏小，相當(dāng)于衛(wèi)生器具計(jì)算使用概率偏低，或許能解釋（1）式為何不能用于給水當(dāng)量大的小區(qū)。）
　　用不同方法求得的同時(shí)使用龍頭數(shù)見表2。從表中數(shù)據(jù)可見，當(dāng)龍頭總數(shù)較小時(shí)，兩者差異明顯。

5 結(jié)語(yǔ)

本文用概率論分析住宅類直飲水系統(tǒng)水龍頭使用規(guī)律，用二項(xiàng)式概率與正態(tài)分布函數(shù)，計(jì)算水龍頭的使用個(gè)數(shù)，用以指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)。對(duì)于旅館等建筑也可用本法得出相應(yīng)結(jié)果。本法計(jì)算簡(jiǎn)便直觀，對(duì)設(shè)計(jì)條件變化的適應(yīng)性好，沒有引入待定的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。
　　在文中，最重要的參數(shù)是p、A₀文中假定用水集中發(fā)生在某一小時(shí)；假定秒流量為最大1min的平均秒流量，是否合理，尚待探討。用本法確定的秒流量，是否與實(shí)際情況相符合，還需用實(shí)際觀測(cè)結(jié)果來驗(yàn)證。

參考文獻(xiàn)：
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　　[2]吳一蘩．用概率方法確定室內(nèi)給水管道的設(shè)計(jì)流量[J]．中國(guó)給水排水，1994，10(1)．